爱尔兰根纲领的齐性空间 爱尔兰根纲领的19世纪几何中的问题及例子:仿射几何

19世纪几何中的问题

  有一个'几何'还是很多个?自欧几里德以来,几何意味着二维(平面几何)或者三维(立体几何)欧氏空间的几何。在19世纪上半叶,有了一些发展使得这个景象变得复杂了。数学应用要求有四维或者更高维的几何;对传统欧氏几何的基础的审视已经揭示出平行公理和其他公理的独立性,而且非欧几何已经诞生;而在射影几何中,新的'点'(无穷远点,有复数坐标的点)已经被引入。

  用抽象术语来说,这个解决办法是使用对称性作为根本的原则,并且从一开始就陈述不同的几何可以共存,因为它们处理不同类型的命题和不同类型的对称性和变换下的不变量。仿射几何和射影几何的区别就在于诸如平行这种仿射不变量的概念是前者的恰当主题,而对后者来说却不是主要概念。然后,通过从各个几何中抽象出基础的对称群,它们之间的关系可以在群的级别重新建立。因为仿射几何的群是射影几何的群的子群,所有射影几何的概念不变量先验的在仿射几何中有意义;但是反过来不行。如果你包含更多对称性进来,你就有一个更强的理论,但更少的概念和定理(但会更深刻和一般化)。

齐性空间

  换而言之, 各种"传统空间"是齐性空间;但是不是对于一个唯一确定的群。改变群就改变了相应的几何语言。

  在今天的语言中,经典几何中考虑的群都是很著名的李群。特定的关系用技术化的语言很容易描述。

例子:仿射几何

  例如n维射影几何的群就是n维射影空间的对称群(n+1阶矩阵群,取和标量矩阵的商)。该仿射群是保持所选的无穷远超平面不变(映射集合到自身,不是固定每一点)的子群。这个子群有一个已知的结构(n阶矩阵群和平移子群的准直积)。这个表述告诉我们什么性质是'仿射的'。用欧氏平面几何术语,平行就是:仿射变换总是将一个平行四边形变成另一个平行四边形。而圆不是仿射地,因为仿射剪切可以把圆变成椭圆。

  要精确的解释仿射和欧氏几何之间的关系,我们要在仿射群中点出欧氏几何的群。欧氏群实际上是(采用前面仿射群的表述)正交(旋转和反射)群和平移群的准直积。

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